Kalkulator wielokąta foremnego – sześciokąt, ośmiokąt, pięciokąt

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Każdy da się wpisać w okrąg i opisać na okręgu, a jego środek jest wspólny dla obu — i to właśnie z tego biorą się wszystkie wzory.

Pole: P = n · a² / (4 · tg(180°/n)). Wielokąt dzieli się na n przystających trójkątów równoramiennych o wspólnym wierzchołku w środku; każdy ma podstawę a i wysokość równą promieniowi okręgu wpisanego. Stąd też druga, krótsza postać: P = ½ · L · r, czyli połowa obwodu razy apotema.

Sześciokąt jest przypadkiem szczególnym, w którym wzór się skraca do P = 3√3/2 · a² ≈ 2,5981 · a², a promień okręgu opisanego równa się bokowi. To jedyny wielokąt foremny o tej własności — składa się bowiem z sześciu trójkątów równobocznych.

Kąty: suma kątów wewnętrznych dowolnego n-kąta wynosi (n − 2) · 180°, więc w foremnym każdy kąt to (n − 2) · 180° / n. Kąt środkowy — ten, pod którym widać jeden bok ze środka figury — wynosi 360° / n.

Wielokąt foremny dąży do koła. Im więcej boków, tym obwód bliższy obwodowi okręgu opisanego — przy stu bokach różnica to już mniej niż 0,2 %. Dla samego koła liczy to kalkulator obwodu koła, a kąty użyte we wzorach na apotemę i promień podaje tabela wartości trygonometrycznych.

Promienie

Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki: R = a / (2 · sin(180°/n)). Okrąg wpisany dotyka środków boków i jego promień nazywa się apotemą: r = a / (2 · tg(180°/n)). Apotema jest zawsze krótsza od R, a ich stosunek r/R = cos(180°/n) dąży do 1, gdy liczba boków rośnie.

Liczenie od innej wielkości

Kalkulator sprowadza każdą daną wejściową do długości boku i dalej liczy z niej. Dla pola odwraca wzór: a = √(4P · tg(180°/n) / n), dla promieni — mnoży przez odpowiedni czynnik trygonometryczny, dla obwodu dzieli przez n.

Przekątne

Liczba przekątnych to n(n − 3)/2 — z każdego z n wierzchołków wychodzi ich n − 3 (nie licząc dwóch sąsiadów i samego siebie), a każdą liczy się dwa razy. Najdłuższa przekątna dla parzystego n przechodzi przez środek i wynosi 2R; dla nieparzystego środka nie dotyka i wynosi 2R · sin(⌊n/2⌋ · 180°/n).

Zbieżność do koła

Gdy n rośnie, wielokąt foremny wypełnia coraz większą część koła opisanego: pięciokąt 75,7 %, ośmiokąt 90,0 %, dwunastokąt 95,5 %, a stukąt już 99,9 %. To właśnie ta granica pozwoliła Archimedesowi oszacować π, wpisując i opisując wielokąty na okręgu.

Jaki jest wzór na pole sześciokąta foremnego?

P = 3√3/2 · a² ≈ 2,5981 · a², gdzie a to długość boku. Dla boku 5 pole wynosi 64,9519, dla boku 10 — 259,8076.

Jaki jest wzór na pole dowolnego wielokąta foremnego?

P = n · a² / (4 · tg(180°/n)). Równoważnie P = ½ · L · r, czyli połowa obwodu razy promień okręgu wpisanego.

Ile wynosi kąt w sześciokącie foremnym?

Każdy kąt wewnętrzny ma 120°, a wszystkie sześć razem — 720°. Kąt środkowy, pod którym widać jeden bok ze środka figury, wynosi 60°.

Ile wynosi kąt w ośmiokącie foremnym?

135° — z wzoru (8 − 2) · 180° / 8. Suma wszystkich kątów to 1080°, a kąt środkowy 45°.

Dlaczego w sześciokącie promień okręgu opisanego równa się bokowi?

Bo sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku w środku. Bok każdego z nich jest jednocześnie bokiem sześciokąta i promieniem okręgu opisanego. To jedyny wielokąt foremny o tej własności.

Co to jest apotema?

Promień okręgu wpisanego — odcinek od środka figury do środka boku, prostopadły do niego. Jest zawsze krótszy od promienia okręgu opisanego, który sięga wierzchołka. W sześciokącie apotema wynosi a√3/2 ≈ 0,866 · a.

Ile przekątnych ma sześciokąt?

Dziewięć — z wzoru n(n − 3)/2 = 6 · 3 / 2. Trzy z nich przechodzą przez środek i są najdłuższe (równe 2R, czyli dwóm bokom), pozostałe sześć jest krótszych.

Jak policzyć bok, znając pole?

Odwracając wzór: a = √(4P · tg(180°/n) / n). W kalkulatorze wystarczy przełączyć „Co znasz” na „Pole” — reszta wyliczy się sama.

Dlaczego plaster miodu jest sześciokątny?

Bo spośród kształtów, którymi da się bez luk wypełnić płaszczyznę — trójkąta, kwadratu i sześciokąta — sześciokąt mieści największą powierzchnię przy danym obwodzie. Dla pszczół oznacza to najmniej wosku na komórkę o danej pojemności.

Czym różni się wielokąt foremny od zwykłego?

Foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe naraz. Sam warunek równych boków nie wystarczy — romb ma cztery równe boki, ale nie jest foremny, bo jego kąty są różne.

• Wzory dotyczą wyłącznie wielokątów foremnych — o równych bokach i równych kątach. Sześciokąt o nierównych bokach ma to samo n, ale inne pole.
• Wymiar wejściowy i wyniki są w tej samej jednostce; wzory są bezwymiarowe, więc działają tak samo dla centymetrów i metrów.
• Wyniki są zaokrąglane do liczby miejsc ustawionej w panelu zaawansowanym. Wartości z funkcjami trygonometrycznymi są w większości niewymierne, więc każdy zapis dziesiętny jest przybliżeniem.
• Kalkulator przyjmuje od 3 do 100 boków. Powyżej stu wyniki praktycznie pokrywają się z kołem o promieniu R.
• Trójkąt (n = 3) nie ma przekątnych — wzór n(n − 3)/2 daje dla niego zero.

• Wzory na pole, promienie i kąty wielokąta foremnego — standardowa geometria elementarna, podstawa programowa matematyki dla szkoły ponadpodstawowej.
• Wartości szczególne: pole sześciokąta 3√3/2 · a² i trójkąta równobocznego a²√3/4 jako przypadki wzoru ogólnego.

Ostatnia aktualizacja: 22.09.2026