Kalkulator trójkąta – pole, wysokość i kąty

Wzór podstawowy: P = ½ · a · h, gdzie a to dowolnie wybrany bok, a h — wysokość opuszczona właśnie na ten bok. Wynik nie zależy od tego, który bok wybierzesz.

Trójkąt równoboczny: P = a²√3/4 ≈ 0,4330 · a², wysokość h = a√3/2 ≈ 0,8660 · a. Skąd √3: wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty 30-60-90, a Pitagoras z boku a i połowy boku daje h = √(a² − a²/4) = a√3/2.

Trójkąt równoramienny: wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją dokładnie na pół, więc h = √(b² − a²/4), gdzie b to ramię. Stąd P = ½ · a · √(b² − a²/4).

Trójkąt prostokątny: przyprostokątne są wysokościami względem siebie, więc P = ½ · a · b. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną to h = a · b / c.

Znasz tylko trzy boki: wzór Herona P = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), gdzie s to połowa obwodu. Kalkulator używa go zawsze — pozostałe wzory są jego przypadkami szczególnymi.

Skąd biorą się wartości funkcji w tych wzorach. Sinus, cosinus i tangens dla kątów pojawiających się w zadaniach najczęściej zbiera tabela wartości trygonometrycznych — przydaje się, gdy wynik ma być dokładny, a nie przybliżony. Dla trójkąta prostokątnego szybsza bywa droga przez twierdzenie Pitagorasa, a przy figurach z łukiem — kalkulator obwodu koła.

Warunek istnienia trójkąta

Trzy odcinki tworzą trójkąt tylko wtedy, gdy każdy z nich jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Przy równości odcinki ułożą się w jedną prostą. Kalkulator sprawdza to przed liczeniem i mówi wprost, gdy warunek nie jest spełniony, zamiast zwracać wynik z pierwiastka z liczby ujemnej.

Kąty z twierdzenia cosinusów

Mając trzy boki, każdy kąt wylicza się jako α = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)), gdzie α leży naprzeciw boku a. Trzeci kąt kalkulator liczy jako dopełnienie do 180° — to zarazem kontrola poprawności dwóch pierwszych.

Promienie okręgów

Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki: R = abc / (4P). Okrąg wpisany jest styczny do wszystkich boków: r = P / s, gdzie s to połowa obwodu. W trójkącie równobocznym R = 2r i oba środki leżą w tym samym punkcie.

Trójkąt 30-60-90

To połowa trójkąta równobocznego. Boki mają się do siebie jak 1 : √3 : 2 — naprzeciw kąta 30° leży bok równy połowie przeciwprostokątnej. Wpisz przyprostokątne 1 i √3 ≈ 1,7321, żeby to sprawdzić.

Trójkąt 45-45-90

Połowa kwadratu przecięta przekątną. Proporcje boków to 1 : 1 : √2. Wpisz dwie równe przyprostokątne, a przeciwprostokątna wyjdzie równa bokowi razy √2.

Jaki jest wzór na pole trójkąta?

P = ½ · a · h — połowa długości boku razy wysokość opuszczona na ten bok. Jeśli znasz tylko trzy boki, użyj wzoru Herona: P = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), gdzie s to połowa obwodu.

Jaki jest wzór na pole trójkąta równobocznego?

P = a²√3/4 ≈ 0,4330 · a². Dla boku 6 pole wynosi 15,5885, dla boku 10 — 43,3013.

Jaki jest wzór na wysokość trójkąta?

Ogólnie h = 2P / a. Dla równobocznego upraszcza się do h = a√3/2 ≈ 0,8660 · a, a dla równoramiennego wynosi h = √(b² − a²/4), gdzie b to ramię, a a — podstawa.

Jak policzyć pole trójkąta równoramiennego?

Najpierw wysokość: h = √(b² − a²/4) — wysokość dzieli podstawę na pół, więc to zwykły Pitagoras. Potem P = ½ · a · h. Dla podstawy 6 i ramion 5 wysokość wynosi 4, a pole 12.

Jak policzyć pole trójkąta prostokątnego?

P = ½ · a · b, gdzie a i b to przyprostokątne — są one wysokościami względem siebie. Dla 3 i 4 pole wynosi 6, a przeciwprostokątna 5.

Ile wynosi kąt w trójkącie równobocznym?

Każdy kąt ma 60°, bo suma kątów w dowolnym trójkącie to 180°, a tu wszystkie trzy są równe.

Jakie są zależności w trójkącie 30-60-90?

Boki mają się do siebie jak 1 : √3 : 2. Naprzeciw kąta 30° leży najkrótszy bok, równy połowie przeciwprostokątnej; naprzeciw 60° — bok równy połowie przeciwprostokątnej razy √3. To połowa trójkąta równobocznego przeciętego wysokością.

Jakie są zależności w trójkącie 45-45-90?

Proporcje boków to 1 : 1 : √2. To połowa kwadratu przecięta przekątną, więc przeciwprostokątna jest równa bokowi razy √2 ≈ 1,4142.

Kiedy z trzech odcinków da się zbudować trójkąt?

Gdy każdy odcinek jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Odcinki 3, 4 i 8 trójkąta nie utworzą, bo 8 > 3 + 4. Przy równości ułożą się w jedną prostą.

Jak policzyć kąty, znając tylko boki?

Z twierdzenia cosinusów: α = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)), gdzie α leży naprzeciw boku a. Trzeci kąt wystarczy policzyć jako dopełnienie do 180°.

• Wszystkie boki muszą być w tej samej jednostce — wynik pola wychodzi w jej kwadracie. Wzory są bezwymiarowe.
• Trójkąt musi spełniać warunek trójkąta: każdy bok krótszy od sumy dwóch pozostałych. Inaczej kalkulator odmawia liczenia i wyjaśnia dlaczego.
• „Wysokość” w wynikach głównych oznacza wysokość opuszczoną na bok a. Trójkąt ma trzy różne wysokości — dla prostokątnego podana jest dodatkowo ta na przeciwprostokątną.
• Kąty są podawane w stopniach, zaokrąglone do dwóch miejsc. Ich suma zawsze wynosi 180°.
• √3 i √2 są liczbami niewymiernymi, więc każdy zapis dziesiętny jest przybliżeniem.

• Wzór Herona na pole trójkąta z trzech boków — Heron z Aleksandrii, Metrica.
• Twierdzenie cosinusów — Euklides, Elementy, księga II, w postaci współczesnej.
• Wzory R = abc/(4P) i r = P/s na promienie okręgu opisanego i wpisanego — geometria elementarna.
• Warunek trójkąta (nierówność trójkąta) — podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej.

Ostatnia aktualizacja: 22.09.2026