Kalkulator twierdzenia cosinusów – wzór i obliczenia

Twierdzenie cosinusów: c² = a² + b² − 2ab · cos γ, gdzie γ jest kątem między bokami a i b. Działa w każdym trójkącie, nie tylko w prostokątnym.

To uogólnienie twierdzenia Pitagorasa. Dla γ = 90° mamy cos 90° = 0, więc cały człon −2ab · cos γ znika i zostaje c² = a² + b². To najprostszy sposób, żeby zapamiętać wzór: Pitagoras plus poprawka na to, o ile kąt różni się od prostego.

Kierunek poprawki jest intuicyjny. Dla kąta ostrego (γ < 90°) cosinus jest dodatni, więc odejmujemy coś dodatniego i bok c wychodzi krótszy niż u Pitagorasa. Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, odejmowanie zamienia się w dodawanie i bok c wychodzi dłuższy.

Odwrócenie wzoru pozwala wyznaczyć kąt z trzech boków: cos γ = (a² + b² − c²) / 2ab. To jedyny sposób, żeby poznać kąty, mając same długości.

Trzy zapisy tego samego twierdzenia

Wzór można napisać dla każdego boku osobno:

• a² = b² + c² − 2bc · cos α
• b² = a² + c² − 2ac · cos β
• c² = a² + b² − 2ab · cos γ

Każdy kąt oznacza się literą grecką odpowiadającą bokowi, który leży naprzeciw niego: α naprzeciw a, β naprzeciw b, γ naprzeciw c.

Warunek istnienia trójkąta

Trzy odcinki tworzą trójkąt tylko wtedy, gdy suma każdych dwóch jest większa od trzeciego. Dla boków 2, 3 i 6 warunek nie zachodzi (2 + 3 = 5 < 6), więc taki trójkąt nie istnieje i kalkulator to sygnalizuje zamiast podawać wynik.

Pole trójkąta

Przy znanych dwóch bokach i kącie między nimi pole liczy się najkrócej jako P = ½ · a · b · sin γ. Kalkulator używa tego wzoru, a nie wzoru Herona, bo kąt jest już policzony.

Kiedy twierdzenie cosinusów, a kiedy sinusów

Cosinusów używa się, gdy dane są dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki. Gdy dany jest bok i dwa kąty albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich, prostsze jest twierdzenie sinusów: a / sin α = b / sin β = c / sin γ.

Jak brzmi twierdzenie cosinusów?

Kwadrat boku trójkąta równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi: c² = a² + b² − 2ab · cos γ.

Kiedy stosuje się twierdzenie cosinusów?

Gdy dane są dwa boki i kąt między nimi (szukasz trzeciego boku) albo wszystkie trzy boki (szukasz kątów). W pozostałych przypadkach prostsze jest twierdzenie sinusów.

Czy twierdzenie cosinusów działa w trójkącie prostokątnym?

Tak. Dla kąta prostego cos 90° = 0, więc człon z cosinusem znika i wzór sprowadza się do c² = a² + b², czyli twierdzenia Pitagorasa.

Jak obliczyć kąt z trzech boków?

Odwracając wzór: cos γ = (a² + b² − c²) / 2ab, a potem γ = arccos(...). Kalkulator robi to w trybie „trzy boki” i podaje wszystkie trzy kąty naraz.

Co oznacza kąt γ we wzorze?

Kąt leżący naprzeciw boku c, czyli zawarty między bokami a i b. Podstawienie kąta z innego miejsca trójkąta daje błędny wynik.

Dlaczego dla kąta rozwartego bok wychodzi dłuższy?

Bo cosinus kąta rozwartego jest ujemny. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie, więc c² rośnie ponad wartość z Pitagorasa.

Jak policzyć pole trójkąta z dwóch boków i kąta?

P = ½ · a · b · sin γ, gdzie γ to kąt między tymi bokami. Ten sam kąt, który wchodzi do twierdzenia cosinusów.

Czy z każdych trzech liczb da się zbudować trójkąt?

Nie. Suma każdych dwóch boków musi być większa od trzeciego. Dla 2, 3 i 6 warunek nie zachodzi, więc taki trójkąt nie istnieje.

• Kąt γ musi leżeć między bokami a i b. Podanie kąta naprzeciw jednego z nich daje błędny wynik — to najczęstsza pomyłka przy tym wzorze.
• Kąty podawane są w stopniach. Wewnętrznie kalkulator przelicza je na radiany, bo funkcje trygonometryczne w JavaScripcie przyjmują radiany.
• Boki muszą być dodatnie, a kąt mieścić się w przedziale od 0° do 180° — wyłącznie, bo przy 0° i 180° trójkąt degeneruje się do odcinka.
• W trybie trzech boków kalkulator sprawdza warunek trójkąta i odmawia liczenia kątów, gdy nie jest spełniony.
• Wyniki są zaokrąglane do liczby miejsc ustawionej w panelu zaawansowanym. Suma kątów może po zaokrągleniu nieznacznie odbiegać od 180°.

• Twierdzenie cosinusów — podstawa programowa matematyki dla szkoły ponadpodstawowej, zakres podstawowy i rozszerzony.
• Twierdzenie Pitagorasa jako przypadek szczególny dla γ = 90°.
• Tabela wartości sin, cos, tg i ctg — wartości dokładne dla kątów charakterystycznych.

Ostatnia aktualizacja: 20.09.2026