Kalkulator funkcji kwadratowej
Zbadaj funkcję kwadratową ax² + bx + c, deltę, miejsca zerowe, wierzchołek, oś symetrii, postać kanoniczną i monotoniczność. Z jawnymi wzorami i podstawieniem.
Spis treści
Jak działa kalkulator
Kalkulator bada funkcję kwadratową f(x) = ax² + bx + c: liczy deltę, miejsca zerowe, wierzchołek paraboli, oś symetrii, postać kanoniczną, kierunek ramion i przedziały monotoniczności. Przydatny w zadaniach szkolnych i na maturze.
Jak liczymy (metodologia i wzory)
Wyróżnik: Δ = b² − 4ac. Miejsca zerowe (gdy Δ ≥ 0): x = (−b ± √Δ) / 2a. Wierzchołek: p = −b/2a, q = −Δ/4a, więc W = (p, q), a oś symetrii to x = p. Postać kanoniczna: a(x − p)² + q. Dla a > 0 ramiona w górę (wierzchołek = minimum), dla a < 0 w dół (maksimum).
FAQ
Jak policzyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
Najpierw wyróżnik Δ = b² − 4ac. Gdy Δ ≥ 0: x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. Gdy Δ < 0: brak miejsc zerowych rzeczywistych.
Jak wyznaczyć wierzchołek paraboli?
p = −b ÷ 2a, q = −Δ ÷ 4a, więc wierzchołek W = (p, q), a oś symetrii to x = p. Postać kanoniczna: a(x − p)² + q.
Kiedy parabola ma ramiona w górę?
Gdy a > 0: wtedy wierzchołek jest minimum funkcji. Dla a < 0 ramiona idą w dół, a wierzchołek jest maksimum.
Założenia i ograniczenia
- Funkcja kwadratowa wymaga a ≠ 0 (przy a = 0 jest liniowa).
- Gdy Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych w liczbach rzeczywistych (ma zespolone).
- Miejsca zerowe to punkty przecięcia z osią X; c to wartość w punkcie x = 0.
Źródła i aktualizacja
- Funkcja kwadratowa, delta, wierzchołek, postacie (dostęp: 11.07.2026)