Kalkulator pierwiastków – kwadratowy, sześcienny i n-tego stopnia

Kalkulator pierwiastków liczy pierwiastek kwadratowy, sześcienny oraz dowolny pierwiastek n-tego stopnia. W polu liczby możesz wpisać liczbę całkowitą, dziesiętną z przecinkiem albo ułamek, na przykład 1/4. Osobny tryb oblicza pierwiastek pod pierwiastkiem.

Przyciski przykładów odpowiadają najczęstszym pytaniom: √200, √225, ∛27, √(−1), pierwiastek czwartego stopnia z 16 i √(√16). Wynik pokazuje wartość dziesiętną, postać uproszczoną, dziedzinę i kontrolę przez ponowne potęgowanie.

1. Wybierz zwykły pierwiastek albo pierwiastek pod pierwiastkiem.
2. Wpisz liczbę, także w formie ułamka, i ustaw stopień pierwiastka.
3. Dla liczby ujemnej pozostaw włączone wyniki zespolone, jeśli chcesz zobaczyć główną wartość.
4. Odczytaj wynik dziesiętny, postać dokładną i błąd sprawdzenia.

Przykładowe wyniki pierwiastków

Dla liczby rzeczywistej x ≥ 0 pierwiastek n-tego stopnia jest liczony jako x^(1/n). Dla x < 0 i nieparzystego n istnieje wynik rzeczywisty −|x|^(1/n). Gdy n jest parzyste, wynik rzeczywisty nie istnieje i kalkulator może pokazać główną wartość zespoloną.

Dla ujemnej liczby i parzystego stopnia główny pierwiastek zespolony ma moduł |x|^(1/n) oraz argument π/n. Dlatego √(−1) = i, ale pierwiastek czwartego stopnia z −1 ma część rzeczywistą i urojoną. Kalkulator stosuje definicję głównej wartości potęgi zespolonej.

Dla zagnieżdżenia pierwiastek m-tego stopnia z pierwiastka n-tego stopnia z x oba działania są wykonywane kolejno. Przy nieujemnym x wynik jest równy x^(1/(n×m)). Postać uproszczona powstaje przez rozkład liczby całkowitej na czynniki i wyciągnięcie pełnych potęg przed znak pierwiastka. Ułamki, których licznik i mianownik są pełnymi potęgami, mogą być pokazane dokładnie, na przykład √(1/4) = 1/2.

Jak czytać wynik i wyjaśnienie?

Główna wartość jest przybliżeniem numerycznym. Osobno podajemy postać dokładną, np. √200 = 10·√2 lub √(2/8) = 1/2. Gdy limit rozkładu zatrzyma upraszczanie, informujemy o częściowym uproszczeniu. Sekcja „Jak obliczyć ten pierwiastek?” pokazuje rozkład lub kolejność działań. Przy x ≥ 0 zagnieżdżone stopnie można pomnożyć. Dla x < 0 znaczenie ma kolejność: nieparzysty pierwiastek z liczby rzeczywistej wybieramy jako rzeczywisty, a gdy brak rzeczywistego wyniku, pokazujemy główną wartość zespoloną.

Kopiowanie i historia oddzielają „=” (postać dokładna) od „≈” (przybliżenie). Ustawienia zaokrągleń wpływają na prezentację, nie na liczbę używaną do sprawdzenia. W notacji naukowej obcinana jest mantysa; niezerowe bardzo małe wartości nie są zastępowane zerem w głównym wyniku.

Jak obliczyć pierwiastek n-tego stopnia?

Wpisz liczbę x oraz całkowity stopień n większy lub równy 2. Kalkulator obliczy x^(1/n), pokaże wynik dziesiętny i, gdy to możliwe, postać uproszczoną.

Ile wynosi pierwiastek z 200?

√200 = √(100×2) = 10√2, czyli w przybliżeniu 14,142136.

Ile wynosi pierwiastek z 225?

√225 = 15, ponieważ 15² = 225.

Jaki jest pierwiastek trzeciego stopnia z 27?

∛27 = 3, ponieważ 3³ = 27.

Ile wynosi pierwiastek z −1?

W liczbach rzeczywistych √(−1) nie istnieje. W liczbach zespolonych głównym wynikiem jest i, ponieważ i² = −1.

Czy można obliczyć pierwiastek z liczby ujemnej?

Tak. Dla nieparzystego stopnia wynik jest rzeczywisty, na przykład ∛(−1) = −1. Dla parzystego stopnia kalkulator pokaże główny wynik zespolony, jeśli ta opcja jest włączona.

Jak obliczyć pierwiastek pod pierwiastkiem?

Wybierz tryb zagnieżdżony i podaj stopień wewnętrzny oraz zewnętrzny. Dla x ≥ 0 pierwiastek m-tego stopnia z pierwiastka n-tego stopnia jest równy pierwiastkowi stopnia n×m z x. Przykładowo √(√16) = 2.

Czy można wpisać ułamek pod pierwiastkiem?

Tak. Wpisz ułamek jako licznik/mianownik, na przykład 1/4. Kalkulator pokaże √(1/4) = 1/2 = 0,5.

Jaki jest pierwiastek czwartego stopnia z 16?

Główny pierwiastek czwartego stopnia z 16 wynosi 2, ponieważ 2⁴ = 16.

• Wyniki dziesiętne są przybliżeniami wykonywanymi w arytmetyce zmiennoprzecinkowej JavaScript.
• Postać uproszczona działa dla bezpiecznych liczb całkowitych oraz dla ułamków o całkowitym liczniku i mianowniku. Dla bardzo dużych czynników obowiązuje ustawiony limit rozkładu.
• Ułamek wpisany w polu liczby może zawierać tylko jeden znak „/”; mianownik nie może być zerem.
• Dla ujemnych liczb i parzystych stopni kalkulator pokazuje jedną główną wartość zespoloną, nie wszystkie n możliwych pierwiastków.
• Opcja „Użyj |x|” celowo ignoruje znak liczby przed wykonaniem działania.

Przykłady wyłączają opcję |x|, aby znak odpowiadał opisowi przycisku; pozostałe preferencje pozostają bez zmian. Dokładne uproszczenia opierają się na bezpiecznych liczbach całkowitych wpisanych bez notacji wykładniczej (ewentualnie z zerową częścią dziesiętną), również w liczniku i mianowniku. Dla pozostałych zapisów wynik jest numeryczny. Liczby lub ilorazy zbyt małe do reprezentacji są odrzucane zamiast traktowania ich jak zero.

• OpenStax — wykładniki wymierne: związek potęgi ułamkowej z pierwiastkiem i odwrotnością.
• NIST DLMF §4.2: definicje potęg, logarytmów i wartości głównych.
• ECMAScript — Number i BigInt: reprezentacja i ograniczenia precyzji liczb.

Sprawdzono: 17.09.2026.

NIST DLMF §1.9 — liczby zespolone i jednostka urojona; sprawdzono 17.09.2026.

Ostatnia aktualizacja: 17.09.2026