Kalkulator szeregu Taylora i Maclaurina
Rozwiń dowolną funkcję elementarną w szereg Taylora wokół zadanego punktu (lub Maclaurina dla a = 0) do wybranego rzędu. Symbolicznie, z czytelnym wielomianem przybliżającym.
Spis treści
Jak działa kalkulator
Kalkulator rozwija funkcję w szereg Taylora wokół zadanego punktu a (albo Maclaurina, gdy a = 0) do wybranego rzędu, czyli przybliża ją wielomianem zbudowanym z kolejnych pochodnych funkcji w punkcie a.
Jak liczymy (metodologia i wzory)
Szereg Taylora funkcji f wokół punktu a: f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)(x−a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n!. Kalkulator liczy kolejne pochodne symbolicznie i podstawia punkt a. Dla a = 0 otrzymujemy szereg Maclaurina, np. eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + …, sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − …, 1/(1−x) = 1 + x + x² + x³ + …
FAQ
Co to jest szereg Taylora?
Przybliżenie funkcji wielomianem z pochodnych w punkcie a: f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + f”(a)(x−a)²/2! + … Kalkulator liczy kolejne pochodne symbolicznie.
Czym różni się szereg Maclaurina od Taylora?
Szereg Maclaurina to szereg Taylora rozwinięty wokół punktu a = 0: np. eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + …
Do czego służy rozwinięcie w szereg Taylora?
Do przybliżania funkcji wielomianem, ułatwia obliczenia (np. sin x ≈ x dla małych x) i jest podstawą wielu metod numerycznych.
Założenia i ograniczenia
- Funkcja musi być określona i różniczkowalna w punkcie a (np. ln(x) nie rozwiniesz wokół 0: użyj ln(1+x) wokół 0).
- Podajemy skończone rozwinięcie do rzędu n; reszta (błąd przybliżenia) rośnie z oddalaniem się od a.
- Współczynniki pokazujemy z silnią w mianowniku (np. x³/6 = x³/3!).
Źródła i aktualizacja
- Szereg Taylora i Maclaurina (Wikipedia) (dostęp: 11.07.2026)