Kalkulator pochodnych
Kalkulator pochodnych online oblicza dokładny wzór i wartość pochodnej w punkcie.
Przejdź do kalkulatoraKalkulator pochodnych online oblicza dokładny wzór i wartość pochodnej w punkcie. Obsługuje funkcje jednej zmiennej, pochodne cząstkowe, kolejne rzędy oraz sin, cos, tg, arctg, ln, log, exp i pierwiastki.
Spis treści
Wyniki
Najważniejsze wartości są wyżej, a szczegóły niżej.
Szczegóły obliczeń
Jak działa kalkulator
Wpisz funkcję, wybierz zmienną różniczkowania i jej wartość w punkcie. Dla funkcji wielu zmiennych dopisz wartości pozostałych zmiennych, np. y=2; z=1. Kalkulator pokaże dokładny wzór pochodnej, użyte reguły, obliczenie krok po kroku i wartość w punkcie. Dla pierwszej pochodnej jednej zmiennej poda też kąt nachylenia i równanie stycznej.
Obsługiwany jest naturalny zapis, np. 3x^2 + sin(x) albo x^2*y + sin(y). Możesz liczyć pochodne zwykłe i cząstkowe do rzędu 6. Dostępne są m.in. sin, cos, tan (tg), asin, acos, atan (arctg), exp, ln, log, sqrt, abs oraz stałe pi i e.
Jak liczymy (metodologia i wzory)
Tryb symboliczny stosuje regułę stałej, sumy, iloczynu, ilorazu, potęgową i łańcuchową. Wynik jest upraszczany, a następnie obliczany w podanym punkcie. Przy pochodnej cząstkowej pozostałe zmienne są traktowane jak stałe.
Tryb numeryczny służy do porównania wyniku i wykorzystuje różnice skończone:
- centralne:
f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / 2h, - w przód:
(f(x+h) − f(x)) / h, - w tył:
(f(x) − f(x−h)) / h.
Kąt nachylenia jest liczony jako atan(f′(x₀)) × 180 / π. Dla funkcji wielu zmiennych wynik numeryczny oznacza zmianę wzdłuż wybranej zmiennej przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych.
FAQ
Jak kalkulator liczy pochodną?
W trybie symbolicznym stosuje reguły różniczkowania, upraszcza dokładny wzór i podstawia wartości punktu. Dodatkowo pokazuje użyte reguły oraz opis kolejnych kroków. Tryb numeryczny pozwala porównać wynik metodą różnic skończonych.
Jaka jest pochodna funkcji x²?
2x, potęga schodzi jako współczynnik, a wykładnik maleje o 1. Kalkulator poda wzór pochodnej i jej wartość w wybranym punkcie.
Czy kalkulator liczy pochodne wyższych rzędów?
Tak. Możesz wybrać rząd od 1 do 6, a kalkulator wielokrotnie różniczkuje funkcję symbolicznie.
Czy kalkulator liczy pochodne cząstkowe?
Tak. Wpisz funkcję wielu zmiennych, wybierz zmienną różniczkowania i podaj wartości pozostałych zmiennych, np. y=2; z=1. Kalkulator potraktuje je jak stałe.
Jaka jest pochodna stałej, liczby 1 lub π?
Pochodna każdej stałej względem zmiennej wynosi 0. Dlatego pochodna liczby 1, liczby π i dowolnej innej stałej to 0.
Jakie są pochodne ln(x), tg(x) i arctg(x)?
Dla x > 0 pochodna ln(x) to 1/x. Pochodna tg(x) to 1/cos²(x), a pochodna arctg(x) to 1/(1+x²).
Założenia i ograniczenia
- Funkcje trygonometryczne używają radianów.
- Pochodna symboliczna może nie istnieć w punkcie mimo wyprowadzenia wzoru, np. dla
abs(x)w 0. - Metoda numeryczna jest przybliżeniem; dokładność zależy od kroku h i schematu, szczególnie dla wysokich rzędów.
- Równanie stycznej dotyczy pierwszej pochodnej względem wybranej zmiennej, przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych.
Źródła i aktualizacja
Obliczenia wykorzystują standardowe reguły rachunku różniczkowego: pochodną stałej, sumy, iloczynu, ilorazu, potęgi i funkcji złożonej. Tryb przybliżony stosuje centralny schemat różnic skończonych rzędu O(h²) oraz schematy jednostronne rzędu O(h).