Kalkulator pochodnych
Policz pochodną dowolnej funkcji elementarnej, dokładny wzór (symbolicznie) i wartość w punkcie, z linią styczną oraz kątem nachylenia. Obsługuje wielomiany, sin/cos/tan, exp, ln, log, sqrt i złożenia funkcji.
Spis treści
Jak działa kalkulator
Kalkulator liczy pochodną funkcji jednej zmiennej w punkcie: do rzędu 6: i podaje przy okazji wartość funkcji w tym punkcie, kąt nachylenia stycznej (w stopniach) oraz równanie stycznej y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). Funkcję wpisujesz w naturalnym zapisie (np. 3x^2 + sin(x), mnożenie „3x” i potęga „^” są rozumiane automatycznie); dostępne są funkcje sin, cos, tan, ich odwrotności, sqrt, abs, exp, ln/log oraz stałe pi i e. Dla wielomianów kalkulator przełącza się na tryb dokładny i pokazuje jawny wzór pochodnej.
Jak liczymy (metodologia i wzory)
Dwie metody: analityczna dla wielomianów: współczynniki są różniczkowane symbolicznie (potęga n przechodzi w n·x^(n−1), krotnie dla wyższych rzędów), a wynik ewaluowany w punkcie i wypisywany jako wzór; oraz numeryczna (różnice skończone) dla pozostałych funkcji, z wyborem schematu:
- centralny:
f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) ÷ 2h(domyślny, najdokładniejszy, błąd rzędu h²), - progresywny:
(f(x+h) − f(x)) ÷ h, - wsteczny:
(f(x) − f(x−h)) ÷ h.
Pochodne wyższych rzędów liczone są rekurencyjnie tym samym schematem (z limitem liczby wywołań funkcji, żeby nie zawiesić przeglądarki). Krok h ustawiasz samodzielnie; zbyt mały h pogarsza wynik przez błędy zaokrągleń arytmetyki zmiennoprzecinkowej, kalkulator to sygnalizuje. Kąt stycznej to atan(f′(x₀)) × 180 ÷ π. Wyrażenie jest walidowane (dozwolone tylko rozpoznane funkcje i zmienna), a dziedzina ograniczona limitem |x|.
FAQ
Jak kalkulator liczy pochodną?
Dla wielomianów symbolicznie (potęga n przechodzi w n·x^(n−1)) i podaje wzór; dla pozostałych funkcji numerycznie metodą różnic skończonych i ewaluuje pochodną w punkcie.
Jaka jest pochodna funkcji x²?
2x, potęga schodzi jako współczynnik, a wykładnik maleje o 1. Kalkulator poda wzór pochodnej i jej wartość w wybranym punkcie.
Czy kalkulator liczy pochodne wyższych rzędów?
Tak, dla wielomianów różniczkuje wielokrotnie symbolicznie, więc uzyskasz drugą, trzecią i kolejne pochodne.
Założenia i ograniczenia
- Kalkulator liczy pochodną w punkcie, nie ogólny wzór pochodnej, jawny wzór dostaje tylko tryb wielomianowy.
- Metoda numeryczna jest przybliżeniem: dokładność zależy od kroku h i schematu; dla rzędów 4–6 błąd rośnie szybko (rekurencyjne różnice).
- W punktach nieciągłości, ostrzach (np. abs(x) w 0) i poza dziedziną funkcji wynik numeryczny może być mylący, kalkulator nie wykrywa tych sytuacji symbolicznie.
- Funkcje trygonometryczne działają w radianach.
Źródła i aktualizacja
Definicja pochodnej i schematy różnic skończonych (centralny O(h²), progresywny/wsteczny O(h)) to standard analizy matematycznej i metod numerycznych, treści podręcznikowe (np. kurs metod numerycznych), bez zewnętrznych danych.