Kalkulator liczb zespolonych
Dodawaj, odejmuj, mnóż i dziel liczby zespolone, z modułem, argumentem oraz postacią trygonometryczną i wykładniczą wyniku.
Spis treści
Jak działa kalkulator
Kalkulator wykonuje działania na liczbach zespolonych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) i przedstawia wynik w postaci algebraicznej (a + bi), a także podaje moduł, argument oraz postać trygonometryczną i wykładniczą. Pokazuje też liczbę sprzężoną.
Jak liczymy (metodologia i wzory)
Dodawanie/odejmowanie: osobno części rzeczywiste i urojone. Mnożenie: (a₁+b₁i)(a₂+b₂i) = (a₁a₂ − b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)i. Dzielenie: mnożymy przez sprzężenie mianownika. Moduł |z| = √(a²+b²), argument φ = arctg2(b, a). Postać trygonometryczna: |z|·(cos φ + i·sin φ); wykładnicza (wzór Eulera): |z|·e^(iφ).
FAQ
Jak mnoży się liczby zespolone?
(a₁+b₁i)(a₂+b₂i) = (a₁a₂ − b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)i. Dzielenie wykonuje się mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.
Jak policzyć moduł i argument liczby zespolonej?
Moduł |z| = √(a² + b²), a argument φ = atan2(b, a). Z nich powstaje postać trygonometryczna |z|·(cos φ + i·sin φ) i wykładnicza |z|·e^(iφ).
Co to jest sprzężenie liczby zespolonej?
Liczba o przeciwnym znaku części urojonej: sprzężenie a+bi to a−bi. Iloczyn liczby i jej sprzężenia jest rzeczywisty (a²+b²).
Założenia i ograniczenia
- Argument podawany jest w przedziale (−180°, 180°] (funkcja atan2).
- Dzielenie wymaga z₂ ≠ 0.
Źródła i aktualizacja
- Liczby zespolone, działania i postacie (dostęp: 11.07.2026)