Kalkulator całek
Policz całki: oznaczone, nieoznaczone, podwójne i niewłaściwe, numerycznie (Simpson/trapezy), a dla funkcji elementarnych także symboliczny wzór funkcji pierwotnej F(x).
Spis treści
Jak działa kalkulator
Kalkulator liczy numerycznie cztery typy całek: oznaczoną na przedziale [a, b], nieoznaczoną jako numeryczną antypochodną F(x) = ∫ od x₀ do x f(t) dt + C, podwójną na prostokącie [aₓ, bₓ] × [aᵧ, bᵧ] oraz niewłaściwą w czterech trybach: [a, ∞), (−∞, b], (−∞, ∞) lub z osobliwością w punkcie c. W polu „Wzór funkcji” wpisujesz f(x), parser obsługuje operatory + − * / ^, funkcje sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, abs, exp, ln, log, pow, floor, ceil, min, max oraz stałe pi i e (dla 2D także zmienną y). Metodę wybierasz spośród: adaptacyjna (Simpson), Simpson, trapezy. W wynikach dostajesz „Wynik całki”, „Szacowany błąd” (z porównania dwóch gęstości siatki), liczbę ocen funkcji, użyte granice oraz tabelę „Porównanie metod” z wartościami Simpsona i trapezów i ich bezwzględną różnicą.
Jak liczymy (metodologia i wzory)
Wzory metod (wprost z kodu)
Krok siatki: h = (b − a)/n, n zawsze parzyste (nieparzyste jest zwiększane o 1). Simpson: S = (h/3)·[f(a) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(b)]. Trapezy: T = h·[(f(a) + f(b))/2 + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁)]. Metoda adaptacyjna startuje od n i podwaja liczbę podprzedziałów, aż oszacowanie Richardsona |S(2n) − S(n)|/15 ≤ ε albo wyczerpie się limit iteracji; dla trapezów błąd szacowany jest jako |T(2n) − T(n)|/3. Całka podwójna: iloczynowy wzór Simpsona na prostokącie z wagami 1-4-2 w obu osiach, wynik = (hx·hy/9)·Σ wx·wy·f(x, y); wybranie metody adaptacyjnej dla 2D przełącza na Simpsona (z ostrzeżeniem w wynikach).
Całki niewłaściwe są sprowadzane podstawieniem do przedziału (0, 1): dla [a, ∞) x = a + u/(1 − u), dla (−∞, b] x = b − u/(1 − u) (w obu dx = du/(1 − u)²), dla (−∞, ∞) x = tan(π(u − 1/2)) z dx = π·du/cos²(π(u − 1/2)); całkowanie biegnie po [uEps, 1 − uEps]. Osobliwość w punkcie c: suma całek na [a, c − δ] i [c + δ, b]. Całka nieoznaczona: gdy x < x₀, granice są zamieniane, a znak wyniku odwracany; na końcu dodawana jest stała C.
Parametry i limity
Pozycje z dopiskiem „zaawans.” to wartości domyślne, można je zmienić w trybie zaawansowanym formularza.
| Parametr | Domyślnie | Zakres / limit |
|---|---|---|
| Tolerancja ε (adaptacyjna) | 1e-6 | 1e-12 – 1 (zaawans.) |
| Limit iteracji podwajania | 10 | 0 – 30 (zaawans.) |
| Podprzedziały n (1D) | 200 | 10 – 200 000 (zaawans.) |
| Siatka nx × ny (2D) | 60 × 60 | 10 – 2000 na oś (zaawans.) |
| δ przy osobliwości | 1e-6 | przycinane do 25% długości przedziału (zaawans.) |
| Ucięcie transformacji uEps | 1e-8 | 0 – 0,1 (zaawans.) |
| Miejsca po przecinku | 6 | 0 – 12 (zaawans.) |
| Limity bezpieczeństwa | 250 000 ocen (1D); 40 000 punktów (2D) | stałe w kodzie |
Zaokrąglenie następuje wyłącznie przy wyświetlaniu, do zadanej liczby miejsc; wartości |x| ≥ 10⁶ lub < 10⁻⁴ są prezentowane w notacji wykładniczej. Tryb „Trygonometria w stopniach” mnoży argumenty sin/cos/tan przez π/180.
FAQ
Jak kalkulator liczy całkę oznaczoną?
Numerycznie, metodą Simpsona lub trapezów na siatce punktów, z opcją adaptacyjną, która podwaja liczbę podprzedziałów aż wynik się ustabilizuje. Dla form elementarnych podaje też antypochodną symbolicznie.
Czym różni się całka oznaczona od nieoznaczonej?
Nieoznaczona to funkcja pierwotna (antypochodna) z dokładnością do stałej, a oznaczona to konkretna liczba, pole pod wykresem między granicami a i b.
Czy kalkulator liczy całki niewłaściwe i podwójne?
Tak, obsługuje całki z nieskończonymi granicami (niewłaściwe) oraz całki podwójne po obszarze prostokątnym, licząc je numerycznie.
Założenia i ograniczenia
- Wszystkie wyniki są przybliżeniami numerycznymi: kalkulator nie wyznacza wzoru funkcji pierwotnej ani wyniku symbolicznego; „całka nieoznaczona” to wartość liczbowa F(x) w jednym punkcie, nie formuła.
- „Szacowany błąd” to heurystyka (różnica wyników dwóch siatek podzielona przez 15 dla Simpsona lub przez 3 dla trapezów), nie jest gwarantowanym oszacowaniem i dla funkcji silnie oscylujących lub nieciągłych może zaniżać rzeczywisty błąd.
- Całka z osobliwością pomija otoczenie |x − c| < δ, wynik zależy od przyjętego δ i nie jest wartością główną (PV); dla całki rozbieżnej kalkulator może mimo to pokazać skończoną liczbę.
- Całki niewłaściwe liczone są po transformacji na przedział [uEps, 1 − uEps], ogony bardzo wolno zbieżnych funkcji są ucinane, co obniża dokładność wyniku.
- Całka podwójna działa wyłącznie na prostokącie o bokach równoległych do osi, brak obsługi obszarów ogólnych i granic zależnych od drugiej zmiennej.
- Twarde limity (250 000 ocen funkcji w 1D, 40 000 punktów siatki w 2D, n ≤ 200 000) ograniczają osiągalną dokładność, po ich przekroczeniu lub przy wartościach nieokreślonych (NaN/∞) pojawia się komunikat błędu zamiast wyniku.
Źródła i aktualizacja
Zaimplementowane wzory (złożony Simpson, trapezy, ekstrapolacja Richardsona, podstawienia dla przedziałów nieskończonych) to klasyczna, podręcznikowa analiza numeryczna, poniżej materiały referencyjne:
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5 Quadrature, wzory kwadratur trapezów i Simpsona wraz z oszacowaniami błędów (dostęp: 10.07.2026)
- Wikipedia: Metoda Simpsona, złożony wzór Simpsona i rząd błędu metody (dostęp: 10.07.2026)
- Wikipedia: Metoda trapezów, złożony wzór metody trapezów (dostęp: 10.07.2026)
- Wikipedia: Całka niewłaściwa, definicje całek na przedziałach nieskończonych i z osobliwością (dostęp: 10.07.2026)