Kalkulator całek online
Oblicz całkę oznaczoną, nieoznaczoną, podwójną lub niewłaściwą.
Przejdź do kalkulatoraOblicz całkę oznaczoną, nieoznaczoną, podwójną lub niewłaściwą. Zobacz funkcję pierwotną, rozwiązanie krok po kroku, wynik numeryczny i kontrolę dokładności.
Spis treści
Wyniki
Wyniki są przybliżeniami numerycznymi. Przy osobliwościach i oscylacjach zwiększ dokładność i kontroluj porównanie metod.
Rozwiązanie krok po kroku
- Wybierz przykład albo wpisz własną funkcję.
- Kalkulator dobierze regułę lub metodę numeryczną.
- Zostaną uwzględnione granice i parametry.
- Wynik pojawi się wraz z kontrolą dokładności.
Porównanie metod (kontrola)
| Metoda | Wartość | Różnica |
|---|---|---|
| Simpson | – | – |
| Trapezy | – | – |
Składnia funkcji i przykłady
Sprawdź wynik w powiązanym narzędziu
Przejście jest dobrowolne i pomaga zweryfikować funkcję albo zbadać jej zachowanie.
Jak działa kalkulator
Ten kalkulator całek online obsługuje cztery typy zadań: całkę oznaczoną na przedziale [a, b], całkę nieoznaczoną jako funkcję pierwotną (gdy istnieje obsługiwana postać elementarna) oraz wartość numeryczną F(x) = ∫ od x₀ do x f(t) dt + C, całkę podwójną na prostokącie [aₓ, bₓ] × [aᵧ, bᵧ] i całkę niewłaściwą w trybach [a, ∞), (−∞, b], (−∞, ∞) lub z osobliwością w punkcie c.
Wpisz f(x), wybierz rodzaj całki albo użyj jednego z popularnych przykładów. Wynik zawiera czytelne obliczanie całki krok po kroku: rozpoznanie zadania, zastosowaną regułę symboliczną lub metodę numeryczną, uwzględnienie granic oraz kontrolę błędu. Parser obsługuje operatory + − * / ^, funkcje sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, abs, exp, ln, log, pow, floor, ceil, min, max oraz stałe pi i e (dla 2D także zmienną y). Do obliczeń numerycznych możesz wybrać metodę adaptacyjną Simpsona, złożony wzór Simpsona albo trapezy.
Jak liczymy (metodologia i wzory)
Wzory metod (wprost z kodu)
Krok siatki: h = (b − a)/n, n zawsze parzyste (nieparzyste jest zwiększane o 1). Simpson: S = (h/3)·[f(a) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(b)]. Trapezy: T = h·[(f(a) + f(b))/2 + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁)]. Metoda adaptacyjna startuje od n i podwaja liczbę podprzedziałów, aż oszacowanie Richardsona |S(2n) − S(n)|/15 ≤ ε albo wyczerpie się limit iteracji; dla trapezów błąd szacowany jest jako |T(2n) − T(n)|/3. Całka podwójna: iloczynowy wzór Simpsona na prostokącie z wagami 1-4-2 w obu osiach, wynik = (hx·hy/9)·Σ wx·wy·f(x, y); wybranie metody adaptacyjnej dla 2D przełącza na Simpsona (z ostrzeżeniem w wynikach).
Całki niewłaściwe są sprowadzane podstawieniem do przedziału (0, 1): dla [a, ∞) x = a + u/(1 − u), dla (−∞, b] x = b − u/(1 − u) (w obu dx = du/(1 − u)²), dla (−∞, ∞) x = tan(π(u − 1/2)) z dx = π·du/cos²(π(u − 1/2)); całkowanie biegnie po [uEps, 1 − uEps]. Osobliwość w punkcie c: suma całek na [a, c − δ] i [c + δ, b]. Całka nieoznaczona: gdy x < x₀, granice są zamieniane, a znak wyniku odwracany; na końcu dodawana jest stała C.
Parametry i limity
Pozycje z dopiskiem „zaawans.” to wartości domyślne, można je zmienić w trybie zaawansowanym formularza.
| Parametr | Domyślnie | Zakres / limit |
|---|---|---|
| Tolerancja ε (adaptacyjna) | 1e-6 | 1e-12 – 1 (zaawans.) |
| Limit iteracji podwajania | 10 | 0 – 30 (zaawans.) |
| Podprzedziały n (1D) | 200 | 10 – 200 000 (zaawans.) |
| Siatka nx × ny (2D) | 60 × 60 | 10 – 2000 na oś (zaawans.) |
| δ przy osobliwości | 1e-6 | przycinane do 25% długości przedziału (zaawans.) |
| Ucięcie transformacji uEps | 1e-8 | 0 – 0,1 (zaawans.) |
| Miejsca po przecinku | 6 | 0 – 12 (zaawans.) |
| Limity bezpieczeństwa | 250 000 ocen (1D); 40 000 punktów (2D) | stałe w kodzie |
Zaokrąglenie następuje wyłącznie przy wyświetlaniu, do zadanej liczby miejsc; wartości |x| ≥ 10⁶ lub < 10⁻⁴ są prezentowane w notacji wykładniczej. Tryb „Trygonometria w stopniach” mnoży argumenty sin/cos/tan przez π/180.
FAQ
Jak kalkulator liczy całkę oznaczoną?
Numerycznie, metodą Simpsona lub trapezów na siatce punktów, z opcją adaptacyjną, która podwaja liczbę podprzedziałów aż wynik się ustabilizuje. Dla form elementarnych podaje też antypochodną symbolicznie.
Czym różni się całka oznaczona od nieoznaczonej?
Nieoznaczona to funkcja pierwotna (antypochodna) z dokładnością do stałej, a oznaczona to konkretna liczba, pole pod wykresem między granicami a i b.
Czy kalkulator liczy całki niewłaściwe i podwójne?
Tak, obsługuje całki z nieskończonymi granicami (niewłaściwe) oraz całki podwójne po obszarze prostokątnym, licząc je numerycznie.
Czy kalkulator pokazuje obliczanie całek krok po kroku?
Tak. Po wpisaniu funkcji pokazuje rozpoznany typ całki, zastosowaną regułę symboliczną lub metodę numeryczną, sposób uwzględnienia granic i końcowy wynik z kontrolą dokładności. Dla trudnych funkcji, których nie da się zapisać elementarnie, podaje uczciwie wynik numeryczny zamiast pozornego wzoru.
Jak wpisać całkę z 2, 2x, x² albo 1/x²?
Możesz kliknąć gotowy przykład nad formularzem albo wpisać odpowiednio 2, 2*x, x^2 lub 1/x^2. W trybie całki nieoznaczonej kalkulator pokaże funkcję pierwotną ze stałą C.
Założenia i ograniczenia
- Kalkulator zawsze wyznacza przybliżenie numeryczne. Dla wielu funkcji elementarnych dodatkowo pokazuje symboliczną funkcję pierwotną, ale rozbudowane wyrażenia mogą nie mieć obsługiwanej postaci elementarnej.
- Etapy „krok po kroku” objaśniają rozpoznany typ zadania, regułę symboliczną lub metodę numeryczną, podstawienie granic i kontrolę dokładności; nie zastępują pełnego dowodu matematycznego.
- „Szacowany błąd” to heurystyka (różnica wyników dwóch siatek podzielona przez 15 dla Simpsona lub przez 3 dla trapezów), nie jest gwarantowanym oszacowaniem i dla funkcji silnie oscylujących lub nieciągłych może zaniżać rzeczywisty błąd.
- Całka z osobliwością pomija otoczenie |x − c| < δ, wynik zależy od przyjętego δ i nie jest wartością główną (PV); dla całki rozbieżnej kalkulator może mimo to pokazać skończoną liczbę.
- Całki niewłaściwe liczone są po transformacji na przedział [uEps, 1 − uEps], ogony bardzo wolno zbieżnych funkcji są ucinane, co obniża dokładność wyniku.
- Całka podwójna działa wyłącznie na prostokącie o bokach równoległych do osi, bez obszarów ogólnych i granic zależnych od drugiej zmiennej.
- Twarde limity (250 000 ocen funkcji w 1D, 40 000 punktów siatki w 2D, n ≤ 200 000) ograniczają osiągalną dokładność, po ich przekroczeniu lub przy wartościach nieokreślonych (NaN/∞) pojawia się komunikat błędu zamiast wyniku.
Źródła i aktualizacja
Zaimplementowane wzory (złożony Simpson, trapezy, ekstrapolacja Richardsona, podstawienia dla przedziałów nieskończonych) to klasyczna, podręcznikowa analiza numeryczna, poniżej materiały referencyjne:
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5 Quadrature, wzory kwadratur trapezów i Simpsona wraz z oszacowaniami błędów (dostęp: 10.07.2026)
- Wikipedia: Metoda Simpsona, złożony wzór Simpsona i rząd błędu metody (dostęp: 10.07.2026)
- Wikipedia: Metoda trapezów, złożony wzór metody trapezów (dostęp: 10.07.2026)
- Wikipedia: Całka niewłaściwa, definicje całek na przedziałach nieskończonych i z osobliwością (dostęp: 10.07.2026)