Przejdź do wyników
Nauka i matematyka

Kalkulator granic funkcji

Oblicz granicę funkcji w punkcie lub w nieskończoności, obustronną i jednostronną (lewo-/prawostronną). Radzi sobie z wyrażeniami nieoznaczonymi typu 0/0 i ∞/∞ (np. sin(x)/x → 1), oznacza granice niewłaściwe (±∞) i przypadki, gdy granica nie istnieje.

• Opracował: DobryKalkulator.pl
Jak liczymy ↓ FAQ
Spis treści

Granica

Podaj funkcję, zmienną i punkt, do którego dąży argument.

Dane podstawowe

Jak działa kalkulator

Kalkulator wyznacza granicę funkcji w zadanym punkcie lub w nieskończoności. Obsługuje granice obustronne oraz jednostronne (lewo- i prawostronne), rozpoznaje granice właściwe (skończone), niewłaściwe (±∞) oraz przypadki, gdy granica nie istnieje (bo granice jednostronne są różne).

Jak liczymy (metodologia i wzory)

Wartość granicy jest szacowana numerycznie: funkcja jest próbkowana w punktach coraz bliższych granicznemu (a dla granicy w nieskończoności, w punktach coraz większych). Algorytm śledzi, do jakiej wartości zbiegają próbki, wykrywa dążenie do ±∞ oraz rozbieżność granic jednostronnych. Dzięki temu poprawnie radzi sobie z symbolami nieoznaczonymi, np. sin(x)/x → 1 przy x → 0, (1+1/x)^x → e przy x → ∞, czy (x²−1)/(x−1) → 2 przy x → 1. Funkcję wpisujesz w naturalnej składni; parser rozpoznaje wielomiany, sin/cos/tan, exp, ln, log, sqrt oraz ich złożenia.

FAQ

Jak kalkulator liczy granicę funkcji?

Numerycznie, próbkuje funkcję w punktach coraz bliższych granicznemu (lub coraz większych dla granicy w nieskończoności) i śledzi, do jakiej wartości zbiegają próbki.

Czy kalkulator wykrywa granice niewłaściwe i rozbieżne?

Tak, rozpoznaje dążenie do ±∞ oraz sytuację, gdy granice jednostronne (lewo- i prawostronna) są różne, co oznacza brak granicy.

Czym jest granica jednostronna?

Wartość, do której funkcja zbiega, gdy zbliżamy się do punktu tylko z lewej lub tylko z prawej strony. Granica istnieje, gdy obie są równe.

Założenia i ograniczenia
  • Wynik jest oszacowaniem numerycznym, a nie dowodem, dla pełnej ścisłości stosuj twierdzenia o granicach (o dwóch/trzech ciągach, de l’Hospitala, rozkłady Taylora).
  • Przy bardzo szybkich oscylacjach (np. sin(1/x) przy x → 0) metody numeryczne mogą nie rozstrzygnąć granicy, kalkulator zasygnalizuje wtedy, że granica nie istnieje lub jest nieokreślona.
  • Punkt graniczny podaj jako liczbę albo jako oo / ∞ (dla +∞) lub -oo (dla −∞).

Źródła i aktualizacja

Umieść ten kalkulator na swojej stronie

Skopiuj kod i wklej go w swoim artykule, kalkulator zadziała u Ciebie, a pod nim pojawi się link do źródła. Za darmo, bez rejestracji.

Motyw:
Podgląd widgetu ↗