Kalkulator pierwiastków (n-tego stopnia)
Policz pierwiastek n-tego stopnia z dowolnej liczby, sprawdź wynik i (opcjonalnie) zobacz postać uproszczoną dla liczb całkowitych.
Spis treści
Jak działa kalkulator
Kalkulator liczy pierwiastek dowolnego stopnia n ≥ 2 z liczby x i pokazuje wynik w wybranym formacie: dziesiętnym, naukowym albo jako ułamek przybliżony z kontrolowanym maksymalnym mianownikiem. Dla całkowitych x potrafi też podać postać dokładną z wyciągniętym czynnikiem przed pierwiastek (np. √72 = 6·√(2)), a opcja weryfikacji podnosi wynik z powrotem do potęgi n i raportuje błąd bezwzględny i względny. Dla x < 0 przy parzystym n możesz włączyć wynik zespolony (pierwiastek główny).
Jak liczymy (metodologia i wzory)
Wartość liczbowa to r = x^(1/n); dla ujemnego x i nieparzystego n kalkulator liczy r = −|x|^(1/n), pozostając w liczbach rzeczywistych. Dla ujemnego x i parzystego n wynik rzeczywisty nie istnieje, po włączeniu opcji zespolonej pokazywany jest pierwiastek główny i·|x|^(1/n) (zapis „i·a” albo „a+bi”).
Ułamek przybliżony powstaje algorytmem ułamków łańcuchowych (continued fractions) z limitem mianownika 1–100 000 (domyślnie 1000) i maks. 40 iteracjami, obok ułamka wyświetlana jest jego wartość i różnica względem r. Postać dokładna działa przez faktoryzację |x| (dzielniki do ustawionego limitu, domyślnie 200 000): z każdego czynnika pierwszego d^exp przed pierwiastek wychodzi d^⌊exp/n⌋. Precyzja wyświetlania to 0–12 miejsc, z wyborem trybu „zaokrąglaj” lub „ucinaj” (trunc); formatowanie w polskiej notacji (przecinek dziesiętny). Weryfikacja liczy r^n oraz błędy |r^n − x| i względny w procentach.
FAQ
Jak policzyć pierwiastek n-tego stopnia?
r = x^(1/n). Dla ujemnego x i nieparzystego n kalkulator liczy −|x|^(1/n), pozostając w liczbach rzeczywistych.
Czy istnieje pierwiastek parzysty z liczby ujemnej?
Nie w liczbach rzeczywistych. Po włączeniu trybu zespolonego kalkulator poda pierwiastek główny jako liczbę zespoloną (i·|x|^(1/n)).
Jaki jest pierwiastek 3. stopnia z 27?
3, bo 3³ = 27. Kalkulator policzy pierwiastek dowolnego stopnia z dowolnej liczby.
Założenia i ograniczenia
- Obliczenia wykonywane są w arytmetyce zmiennoprzecinkowej (double), wynik i weryfikacja r^n są przybliżeniami; błąd pokazuje sekcja weryfikacji.
- Postać dokładna działa dla x całkowitych (część ułamkowa jest ucinana) i faktoryzuje dzielniki tylko do ustawionego limitu, dla liczb o dużych czynnikach pierwszych uproszczenie może nie wyciągnąć wszystkiego.
- Ułamek przybliżony jest ograniczony maksymalnym mianownikiem, mniejszy limit = prostszy, ale mniej dokładny ułamek.
- Wynik zespolony ograniczony do pierwiastka głównego (jedna z n gałęzi).
- Przy włączonym ograniczeniu stopień n jest przycinany do zakresu 2–15.
Źródła i aktualizacja
Pierwiastkowanie, rozkład na czynniki pierwsze i aproksymacja ułamkami łańcuchowymi to klasyczna matematyka podręcznikowa (algebra i teoria liczb), kalkulator nie korzysta z zewnętrznych danych.